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小学奥数专题:排列组合及典型例题

慧通数学2019-07-06 16:43:46

 

一.可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,则通过“住店法”可顺利解题,在这类问题使用住店处理的策略中,关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数

【例1】  1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方法?

2)有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果?

3)将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法?

【解析】:1)(2 3

【例2  把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?

【解析】:完成此事共分6步,第一步;将第一名实习生分配到车间有7种不同方案,

第二步:将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有种不同方案.

【例3 8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有()A、     B、    C、    D、

【解析】:冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军,把8名学生看作8家“店”,3项冠

军看作3个“客”,他们都可能住进任意一家“店”,每个“客”有8种可能,因此共有种

不同的结果。所以选A

二.相邻问题捆绑法  题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.                                         

 

【例1五人并排站成一排,如果必须相邻且在的右边,那么不同的排法种数有      

【解析】:把视为一人,且固定在的右边,则本题相当于4人的全排列,种

【例2(2009四川卷理)3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3

位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是(      

A.360        B. 188       C.216       D. 96 

【解析】: 间接法 6位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有,                                         

 

其中男生甲站两端的有,符合条件的排法故共有288

三.相离问题插空法:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

【例1七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是      

【解析】:除甲乙外,其余5个排列数为种,再用甲乙去插6个空位有种,不同的排法种数是种

【例2 书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有      种不同的插法(具体数字作答)

【解析】:  

【例3 高三(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的

演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是            

【解析】:不同排法的种数为=3600

【例4 某工程队有6项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工

程丙必须在工程乙完成后才能进行,有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6

项工程的不同排法种数是        

【解析】:依题意,只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中,可得有=20种不同排法。

【例5某市春节晚会原定10个节目,导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目,

但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个,并且已经排好的10个节目的相对顺序不变,

则该晚会的节目单的编排总数为          .

【解析】: 

【例6.马路上有编号为1,2,3…,9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的

二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?

【解析】:把此问题当作一个排对模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方

,所以满足条件的关灯方案有10.

说明:一些不易理解的排列组合题,如果能转化为熟悉的模型如填空模型,排队模型,装盒

模型可使问题容易解决.

【例7】  3个人坐在一排8个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法的种数有多少种?

【解析】: 解法1、先将3个人(各带一把椅子)进行全排列有A,○*○*○*○,在四个空

中分别放一把椅子,还剩一把椅子再去插空有A种,所以每个人左右两边都空位的排法有

=24种.

解法2:先拿出5个椅子排成一排,在5个椅子中间出现4个空,*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空,于是有A=24种.

【例8】  停车场划出一排12个停车位置,今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起,不同的停车方法有多少种?

【解析】:先排好8辆车有A种方法,要求空车位置连在一起,则在每2辆之间及其两端的9

个空档中任选一个,将空车位置插入有C种方法,所以共有CA种方法.    

注:题中*表示元素,○表示空.

元素分析法(位置分析法)某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元

素;再排其它的元素。

【例1 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四

人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,

其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有                                                   

 

A. 36            B.12           C.18            D.48

【解析】:    方法一: 从后两项工作出发,采取位置分析法。

 方法二:分两类:若小张或小赵入选,则有选法;若小张、小赵都入选,则有

选法,共有选法36种,选A.        

【例2  1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种?

【解析】:    老师在中间三个位置上选一个有种,4名同学在其余4个位置上有种方法;所以共有种。.

【例3 有七名学生站成一排,某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种?

【解析】 法一:   法二:    法三:

五.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。                                        

 

【例1(1) 6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是(     

A36      B120      C720     D1440

2)把15人分成前后三排,每排5人,不同的排法种数为

A           B C      D   

38个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?

【解析】    :(1)前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排成一排,共种,选.                                        

 

 2)答案:C

3)看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,有种,某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种,其余5个元素任排5个位置上有种,故共有种排法.

.定序问题缩倍法(等几率法):在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.

【例1.五人并排站成一排,如果必须站在的右边(可以不相邻)那么不同的排法种数是(                                            

 

【解析】    :在的右边与在的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即种

【例2 书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有多少种不同的插法?                                        

 

【解析】    法一:             法二:

【例3ABCDEF6个字母排成一排,若ABC必须按A在前,B居中,C在后的原则(ABC允许不相邻),有多少种不同的排法?  【解析】    法一:          法二: 

七.标号排位问题(不配对问题) 把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排

入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.

【例1 将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个

方格的标号与所填数字均不相同的填法有(     

A6      B9      C11     D23                                         

 

【解析】   :先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填

入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×3×1=9

种填法,选.

【例2 编号为12345的五个人分别去坐编号为12345的五个座位,其中

有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是(               

A 10      B 20       C30           D60

答案:B

【例3:同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,

则4张贺年卡不同的分配方式共有(   )   

(A)6种    (B)9种        (C)11种       (D)23种    

【解析】:设四个人分别为甲、乙、丙、丁,各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。

          第一步,甲取其中一张,有3种等同的方式;

          第二步,假设甲取b,则乙的取法可分两类:

(1)乙取a,则接下来丙、丁取法都是唯一的,

(2)乙取c或d(2种方式),不管哪一种情况,接下来丙、丁的取法也都是唯一的。

根据加法原理和乘法原理,一共有种分配方式。     故选(B)

【例4:五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有(   )                                        

 

(A)60种       (B)44种       (C)36种       (D)24种       

答案:B

八.不同元素的分配问题(先分堆再分配):注意平均分堆的算法

【例1 6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式?                                        

 

1       分成1本、2本、3本三组;

2       分给甲、乙、丙三人,其中一个人1本,一个人2本,一个人3本;

3       分成每组都是2本的三个组;

4       分给甲、乙、丙三人,每个人2本;

5       分给5人每人至少1本。

【解析】    1   2  3 4  5

【例2将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有          种(用数字作答).                                        

 

【解析】:第一步将4名大学生按,2,1,1分成三组,其分法有;

第二步将分好的三组分配到3个乡镇,其分法有所以满足条件得分配的方案有

说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.

【例3  5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共有

        (A)150种              (B)180种        (C)200种              (D)280种

【解析】:人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式,若是1,2,2,则有=60种,

若是1,1,3,                                        

 

则有=90种,所以共有150种,选A

 

 

 

 

【例49个(含甲、乙)平均分成三组,甲、乙分在同一组,则不同分组方法的种数为(  

              A70                  B140                             C280                            D840      

答案    :( A 

【例55名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有(   

A)30种   (B)90种         C)180种    (D)270种

【解析】:将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则将5

名教师分成三组,一组1人,另两组都是2人,有种方法,再将3组分到3个班,

共有种不同的分配方案,选B.

【例6  某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超

2,则该外商不同的投资方案有(    )种                                            

 

A16                           B36               C42                 D60

【解析】:按条件项目可分配为与的结构,∴  故选D

【例7】(15本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为(   

A480      B240      C120     D96

答案:.

212名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有多少种?

答案:                                         

 

【例8  有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担

这三项任务,不同的选法种数是(     

A1260      B2025      C2520     D5040

【解析】:先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中选1人承担乙项任务,第

三步从另外的7人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有种,选.

【例9.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发

建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?                                        

 

【解析】:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况:

①若甲乙都不参加,则有派遣方案种;

②若甲参加而乙不参加,先安排甲有3种方法,然后安排其余学生有方法,所以共有;

③若乙参加而甲不参加同理也有种;④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有7种方法,然后再安排其余8人到另

两个城市有种,共有方法.所以共有不同的派遣方法总数为种

【例10四个不同球放入编号为1234的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种?

【解析】:先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有种,再排:在四个盒中每次排3个有种,故共有种.

九.相同元素的分配问题隔板法:

【例1】:把20个相同的球全放入编号分别为123的三个盒子中,要求每个盒子中的球数不少于其编号数,则有多少种不同的放法?

【解析】:向123号三个盒子中分别放入012个球后还余下17个球,然后再把这17

个球分成3份,每份至少一球,运用隔板法,共有种。                                        

 

【例2  10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?

【解析】:10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆

至少一个,可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案,

故共有不同的分配方案为种.                                        

 

变式17个相同的小球,任意放入四个不同的盒子,问每个盒子都不空的放法有        

   

变式2:马路上有编号为1234567899盏路灯,为节约用电,可以把其

中的三盏路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的路灯,满足条件

的关灯办法有       

【例3】:将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3

中,使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种?                                        

 

【解析】: 1、先从4个盒子中选三个放置小球有种方法。

2、注意到小球都是相同的,我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全,可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、45个空挡中分别插入两个板。各有、、种方法。

3、由分步计数原理可得=720

十.多面手问题( 分类法---选定标准)

 【例1】: 11名外语翻译人员,其中5名是英语译员,4名是日语译员,另外两名是英、

日语均精通,从中找出8人,使他们可以组成翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日

语,这两个小组能同时工作,问这样的8人名单可以开出几张?

  

变式:11名外语翻译人员,其中有5名会英语,4名会日语,另外两名英,日语都精通,从中选出8,组成两个翻译小组,其中4人翻译英语,4人翻译日语,问共有多少不同的选派方式

答案 185                                        

 

十一.走楼梯问题 (分类法与插空法相结合)

 

【例1小明家住二层,他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶,那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法?

 

 【解析】:插空法解题:考虑走3级台阶的次数:

 

 1)有0次走3级台阶(即全走2级),那么有1种走法;                                        

 

 

2)有1次走三级台阶。(不可能完成任务);

 

3)有两次走3级台阶,则有5次走2级台阶:

 

a)两次三级台阶挨着时:相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中,有 

 

b)两次三级不挨着时:相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中,有种走法。

 

 4)有3次(不可能)

 

 

5)有4次走3级台阶,则有2次走两级台阶,互换角色,想成把两个2级台阶放到3级台阶形成得空中,同(3)考虑挨着和不挨着两种情况有种走法;

 

6)有5次(不可能)                

 

 故总共有:1+6+15+15=37种。

 

变式:欲登上第10级楼梯,如果规定每步只能跨上一级或两级,则不同的走法共有(   )

A34      B55     C89     D144    答案:C

十二.排数问题(注意数字“0”)

【例1】(1)由数字012345组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有(     

A210      B300      C464     D600

【解析】 :按题意,个位数字只可能是012345种情况,分别有个,

个,合并总计300,.

2)从123,…,100100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种?

【解析】 :将分成四个不相交的子集,能被4整除的数集;能被4除余1的数集,能被4除余2的数集,能被4除余3的数集,易见这四个集合中每一个有25个元素;从中任取两个数符合要;从中各取一个数也符合要求;从中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不符合要求;所以符合要求的取法共有种.

十三.染色问题:涂色问题的常用方法有:(1)可根据共用了多少种颜色分类讨论;

2)根据相对区域是否同色分类讨论;                                        

 

3)将空间问题平面化,转化成平面区域涂色问题。

【例1将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有5种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是_______.

【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。

(1)若恰用三种颜色,可先从五种颜色中任选一种染顶点S,再从余下的四种颜色中任选两种涂ABCD四点,此时只能ACBD分别同色,故有种方法。

(2)若恰用四种颜色染色,可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S,再从余下的四种颜色中任选两种染AB,由于AB颜色可以交换,故有种染法;再从余下的两种颜色中任选一种染DC,而DC,而DC中另一个只需染与其相对顶点同色即可,故有种方法。

(3)若恰用五种颜色染色,有种染色法                                        

 

综上所知,满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。【答案】420.

【解析二】设想染色按SABCD的顺序进行,对SAB染色,有种染色方法。

   由于C点的颜色可能与A同色或不同色,这影响到D点颜色的选取方法数,故分类讨论:

   CA同色时(此时C对颜色的选取方法唯一),D应与AC)、S不同色,有3种选择;

CA不同色时,C2种选择的颜色,D也有2种颜色可供选择,从而对CD染色有种染色方法。

    由乘法原理,总的染色方法是

【解析三】可把这个问题转化成相邻区域不同色问题:如图,                                        

 

对这五个区域用5种颜色涂色,有多少种不同的涂色方法?

总体实施分步完成,可分为四大步:

①给S涂色有5种方法;

②给A涂色有4种方法(S不同色);

③给B涂色有3种方法(A,S不同色);

④给C,D涂色.CA异色时,C,D都有2种涂色方法CA同色时,C有一种涂色方法(A同色),D3种涂色方法.C,D涂色共有2×2+3=7种方法.

由分步计数原理共有5×4×3×7=420种方法

[规律小结涂色问题的常用方法有:(1)可根据共用了多少种颜色分类讨论;2)根据相对区域是否同色分类讨论;3)将空间问题平面化,转化成平面区域涂色问题。

十四.“至多”“至少”问题用间接法或分类:

十五. 几何中的排列组合问题:

【例1已知直线(是非零常数)与圆有公共点,且公共点的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有          

【解析】:  圆上的整点有:     12 

               其中关于原点对称的有 不满则条件  切线有  

其中平行于坐标轴的有14  不满则条件      66-4+12-14=60     

 答案:60