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排列组合中的“平均分组”与“不平均分组”

高中数学2018-12-01 15:05:05

小数老师说

排列组合对于高中理科生来说,简直是一个噩梦!因为即使你费劲九牛二虎之力算出了结果,也不能确定自己的答案是对还是错!不是遗漏就是重复,反正距离正确答案永远“差一点”!


其实,解排列组合题目要建立模型,如果同学们能从题目中抽象出模型来,难度就大大降低了!今天,小数老师带大家研究一下平均与不平均分组的模型!



下面先看模型




16本不同的书分成3堆,一堆1本,一堆2本,一堆3本,一共有几种分法?


解:这里分三步取书即可,有种方法。那这里有重复的吗?没有。


26本不同的书平均分成3堆,一共有几种分法?


解:先分三步取书,有种方法,但是这里出现重复计数的情况。


不妨记6本书为ABCDEF,若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF,则该分法可以记为(AB,CD,EF),但是中还包括以下情况,(AB, EF , CD)(CD, AB,EF)(CD, EF , AB)(EF ,AB,CD)(EF,CD, AB),而后面的情况,其实与(AB,CD,EF)一样,因为题目要求平均分成3堆就可以了,不用管顺序,所以,正确答案应该是:


36本不同的书分成3堆,一堆4本,另2堆各1本,共用几种分法?


解:先分3步取书,有种方法,但是同样也出现了重复计数的情况。


不妨记6本书为ABCDEF,若第一步取ABCD,第二步取E,第三步取F,则该分法可以记为(ABCDEF),但是中还包括下面情况,(ABCDFE),而实际上,这两种情况是一样的,不用管后面两堆的顺序问题,所以,正确答案是:



总结




1,通过上面模型(2)与(3),可以总结出来,对于平均分组问题,先按照顺序选择得到组合数,然后根据平均分成的组数得到排列数,用组合数除以排列数即可。


2,组合不考虑顺序,排列是需要考虑顺序的!


46本不同的书平均分给3个人,一共有多少种分法?


解:这个可以分成两步,第一步,先把6本书平均分成3堆,由(2)可得,;第2步,把3堆书分给3个不同的


人,有种方法,根据分步相乘的原理,得到最后结果,



注意



做这类型题目的时候,同学们千万不要只记最后结果哈,这样对于抽象模型有影响,可能会导致最后解答错误。


大家学会了模型之后,接下来我们找一些模拟题来验证一下吧!


1将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学,复旦大学,中国科技大学就读,则每所大学至少保送一人的不同保送的方法共有(   )种。


A240    B180    C150    D540


解析:因为要将5名同学分到3所大学,所以可以看作是把5名同学先分成3组,然后进行排列即可;又因为每所大学至少1人,所以5名同学分成3组有两种情况,为(2,2,1)和(3,1,1)。所以,第一步结果为:,第二步,把分成的3组进行排列,结果为,根据分步相乘可得结果,


故答案为:C


2数学活动小组由12名同学组成,现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题且每组只研究一个课题并要求每组选一个组长则不同分配方案有______种。


解析:根据题目,同样先抽象出数学模型,第一步,12名同学,平均分成4组;第2步,每组同学分别选择一个课题(课题不一样);第三步,每组选择一个组长。


可以得到:第一步结果是,;第二步结果是;第三


步,因为是每组有3个同学,选择组长的话,3个同学都有可能,所以选择4个组长的结果是

根据分步相乘,得到最后答案为:



总结



1,做排列组合题,要先抽象数学模型;

2,多审题多总结,研究题目中的关键词;

3,掌握分类与分步的计数方法,尽量做到不重不漏!




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